Relasi, Fungsi, Sifat, dan Jenis Fungsi

Galileo Galilei (1564-1642) merupakan salah satu astronom terkenal dari Italia yang dikenal luas dengan penemuannya tentang hubungan yang sangat teratur antara tinggi suatu benda yang dijatuhkan dengan waktu tempuhnya menuju tanah.
 

Konsep “fungsi” terdapat hampir dalam setiap cabang matematika, sehingga merupakan suatu yang sangat penting artinya dan banyak sekali kegunaannya. Akan tetapi pengertian dalam matematika agak berbeda dengan pengertian dalam kehidupan sehari-hari.Dalam pengertian sehari-hari, “fungsi” adalah guna atau manfaat. Kata fungsi dalam matematika sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716) terlihat di atas digunakan untuk menyatakan suatu 

hubungan atau kaitan yang khas antara dua himpunan.
 

Mengingat konsep fungsi menyangkut hubungan atau kaitan dari dua himpunan, maka disini kita awali dulu pembicaraan kita mengenai fungsi dengan hubungan atau relasi antara dua himpunan.
 

A.Pengertian Relasi
 

Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B.
 

B.Pengertian Relasi
 

Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B. didefinisikan sebagai berikut :
Definisi: Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B.
 

C.Sifat Fungsi
 

Dengan memperhatikan bagaimana elemen-elemen pada masing-masing himpunan A dan B yang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal tiga sifat fungsi yakni sebagai berikut :
1. Injektif (Satu-satu)
 

Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu
(injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif apabila a ≠ a’ berakibat f(a) ≠ f(a’) atau ekuivalen, jika f(a) = f(a’)
maka akibatnya a = a’.
 

2. Surjektif (Onto)
 

Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil f(A) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B. Apabila f(A) = B, yang berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau “f memetakan A Onto B”.
 

3.Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
 

Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”

D.Jenis – jenis Fungsi
 

Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama, misalnya D, maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). Untuk fungsi-fungsi pada R kita kenal beberapa fungsi antara lain sebagai berikut.
a. Fungsi Konstan
b. Fungsi Identitas
c. Fungsi Linear
d. Fungsi Kuadrat
e. Fungsi Rasional

 

Sumber: www.ilmutambah.wordpress.com

Read More

Himpunan

PENGERTIAN

Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.

Contoh:

• Himpunan siswi kelas III SMU Tarakanita tahun 1999-2000 yang nilai IQ-nya diatas 120.
• Himpunan bilangan-bilangan bulaT diantara 10 dan 500 yang habis dibagi 7

Himpunan hanya membicarakan objek-objek yang berlainan saja.

1. Metode Roster
   yaitu dengan menuliskan semua anggota himpunan di dalam
   tanda kurung {...........}
   contoh: himpunan bilangan ganjil N = {1,3,5,7,9,.......}
   
   
2. Metode Rule
   yaitu dengan menyebutkan syarat keanggotaannya
   contoh: N = {x½x adalah bilangan asli}
   

 Istilah-Istilah

1. Elemen (Anggota)                               notasi : Î
   setiap unsur yang terdapat dalam suatu himpunan disebut
   elemen/anggota himpunan itu.
   contoh:
   A ={a,b,c,d}
   a Î A (a adalah anggota himpunan A)
   e Ï A (e bukan anggota himpunan A)
   
   
   
2. Himpunan kosong  9999999999999notasi : f atau {}
   yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota
   contoh :
   A = { x | x² = -2; x riil}
   A = f
   
   
   
3. Himpunan semestafgf fgfgfgfggffgfnotasi : S
   yaitu himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan
   contoh :
   K = {1,2,3}
   S = { x | x bilangan asli } atau
   S = { x | x bilangan cacah } atau
   S = { x | x bilangan positif } dsb.

HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN

1. Himpunan bagian                                     notasi : Ì atau É
   
   Himpunan A adalah himupnan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah anggota B.
   
   Ditulis : A Ì Bf atau B É A
   
   contoh:
   A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d}
   maka A Ì B ; A Ì C ; B Ì C
   
   ketentuan :
   
   
   • himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang
   • himpunan ( f Ì A )himpunan A adalah himpunan bagian dari
   • himpunan A sendiri ( A Ì A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n
     
   
   HB = 2n
   
   contoh:
   jika A = {a,b,c}
   maka himpunan bagian dari A adalah :
   {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan f
   
   seluruhnya ada 2³ = 8
   
   POWER SET 2s
   himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S
   
   contoh:
   S = {a,b,c}
   2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, f }
   
   
   
2. Himpunan sama ttttttttttt                      notasi : =
   
   Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A.
   
   Ditulis A = B
   
   contoh:
   K = {x | x²-3x+2=0}
   L = {2,1}
   maka K = L
   
   
   
3. Himpunan lepas ttttttttttt                      notasi : //
   
   Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B.
   
   Ditulis A // B
   
   contoh:
   A = {a,b,c}
   B = {k,l,m}
   Maka A // B

Read More

Profil Jabir Ibn Hayyan

Tokoh besar yang dikenal sebagai “the father of modern chemistry”. Jabir Ibn Hayyan (keturunan Arab, walaupun sebagian orang menyebutnya keturunan Persia), merupakan seorang muslim yang ahli dibidang kimia, farmasi, fisika, filosofi dan astronomi.Jabir Ibn Hayyan (yang hidup di abad ke-7) telah mampu mengubah persepsi tentang berbagai kejadian alam yang pada saat itu dianggap sebagai sesuatu yang tidak dapat diprediksi, menjadi suatu ilmu sains yang dapat dimengerti dan dipelajari oleh manusia.

Penemuan-penemuannya di bidang kimia telah menjadi landasan dasar untuk berkembangnya ilmu kimia dan tehnik kimia modern saat ini.
Jabir Ibn Hayyan-lah yang menemukan asam klorida, asam nitrat, asam sitrat, asam asetat, tehnik distilasi dan tehnik kristalisasi. Dia juga yang menemukan larutan aqua regia (dengan menggabungkan asam klorida dan asam nitrat) untuk melarutkan emas.
Jabir Ibn Hayyan mampu mengaplikasikan pengetahuannya di bidang kimia kedalam proses pembuatan besi dan logam lainnya, serta pencegahan karat. Dia jugalah yang pertama mengaplikasikan penggunaan mangan dioksida pada pembuatan gelas kaca.
Jabir Ibn Hayyan juga pertama kali mencatat tentang pemanasan wine akan menimbulkan gas yang mudah terbakar. Hal inilah yang kemudian memberikan jalan bagi Al-Razi untuk menemukan etanol.
Jika kita mengetahui kelompok metal dan non-metal dalam penggolongan kelompok senyawa, maka lihatlah apa yang pertamakali dilakukan oleh Jabir. Dia mengajukan tiga kelompok senyawa berikut:1) “Spirits“ yang menguap ketika dipanaskan, seperti camphor, arsen dan amonium klorida.2) “Metals” seperti emas, perak, timbal, tembaga dan besi; dan3) “Stones” yang dapat dikonversi menjadi bentuk serbuk.Salah satu pernyataannya yang paling terkenal adalah: “The first essential in chemistry, is that you should perform practical work and conduct experiments, for he who performs not practical work nor makes experiments will never attain the least degree of mastery.”

Pada abad pertengahan, penelitian-penelitian Jabir tentang Alchemy diterjemahkan kedalam bahasa Latin, dan menjadi textbook standar untuk para ahli kimia eropa. Beberapa diantaranya adalah Kitab al-Kimya (diterjemahkan oleh Robert of Chester – 1144) dan Kitab al-Sab’een (diterjemahkan oleh Gerard of Cremona – 1187). Beberapa tulisa Jabir juga diterjemahkan oleh Marcelin Berthelot kedalam beberapa buku berjudul: Book of the Kingdom, Book of the Balances dan Book of Eastern Mercury. Beberapa istilah tehnik yang ditemukan dan digunakan oleh Jabir juga telah menjadi bagian dari kosakata ilmiah di dunia internasional, seperti istilah “Alkali”, dsb.

Read More

Biografi Penemu Coca Cola

John S.Pemberton yang biasa dipanggil Doc adalah ahli farmasi tinggal di Atlanta, Georgia, Amerika Serikat. Lahir di Knoxville, Georgia pada tahun 1831, namun ia menghabiskan masa kecilnya di Rome, Georgia. Dia banyak mengembangkan obat-obatan paten yang diakui khasiatnya oleh masyarakat. Ia menemukan formula minuman Coca-Cola pada 8 Mei 1886 di Atlanta, Georgia, Amerika Serikat.

Setelah menyelesaikan kuliahnya di Southern Botanico Medical College of Georgia pada 1850, Pemberton membuat sebuah buku mengenai “Samuel Thomson`s Complete System of Practice”. Tahun 1855, Pemberton mendapatkan gelar kedokteran bidang farmasi dari Universitas Philadelphia. Kemudian, ia pindah ke Colombus Georgia, bersama istrinya Anna Eliza Clifford Lewis dan anak laki-lakinya Charles Ney Pemberton.

Sebelum menemukan formula Coca Cola, pada bulan Mei 1862 Pemberton sempat menjalani karier di bidang militer dengan pangkat letnan satu dalam kesatuan angkatan darat. Sebagai pemimpin pasukan, ia bertanggung jawab untuk menjaga kota. Bahkan dalam peperangan, Pemberton sempat tertembak di dadanya.

Setelah lima tahun berkarier di militer, Pemberton bekerja sebagai asisten Dr. Austin Walker, seorang psikolog. Selama bekerja, Pemberton menginvestasikan semua penghasilannya untuk penelitian dan pengembangan dalam bidang hak kepemilikan barang atau produk, seperti minyak parfum dan obat-obatan tradisional. Pada tahun 1869, Pemberton pindah ke Atlanta Georgia, untuk membangun karier bisnisnya. Di kota Atlanta, ia berhasil menciptakan dan menjual minuman yang mengandung alkohol French Wine Coca.

Namun, bisnis minuman yang memberikan banyak penghasilan itu tidak berjalan secara mulus. Semenjak Atlanta mengharamkan penggunaan alkohol pada tahun 1885, Pemberton terpaksa menukar formula French Wine Coca dengan membuang kata French Wine. Sejak diharamkan, kokain tidak lagi menjadi kandungan utama Coca Cola, tetapi diganti dengan kafein, gula, asam sitrat, dan minyak pati buah-buahan masih diperbolehkan. Formula Coca Cola masih menjadi rahasia yang tersimpan rapi.

Bersama dengan rekan sejawatnya yang mengurus keuangan, Frank Robinson, Pemberton membuat minuman segar yang bisa dinikmati banyak orang. Ia meracik minuman French Wine dengan menambahkan gula, asam sitrat, dan minyak pati buah-buahan ke dalam minuman. Akhirnya, terciptalah minuman Coca Cola yang kini populer sebagai minuman soda berkarbonat dalam masa yang singkat.

Untuk bahan utamanya, Pemberton harus mencari dan mengumpulkan biji cola dari tumbuhan asli daerah tropis Afrika Barat dan daun coca yang pohonnya berasal dari Amerika Selatan. Proses pengeringan biji cola dan daun coca dilakukan secara manual. Usaha Pemberton membuat minuman segar berhasil. Ramuannya terwujud seperti yang diharapkannya. Kemudian, Robinson mengusulkan nama Coca Cola untuk ramuan tersebut yang segera diterima oleh Pemberton. Formula Coca Cola kemudian oleh Pemberton diberi nama “Merchandise 7X”, atau disingkat M7X dan sangat dirahasiakan.


Dalam memasarkan produk minuman ini, Pemberton dan Robinson harus berjuang keras. Mereka menjualnya dalam guci dan dibawa berkeliling ke kota menggunakan gerobak kuda. Bahkan, mereka harus menjual secara gratis untuk mengenalkan Coca Cola. Meskipun mendapatkan sambutan baik dari masyarakat, namun penghasilan tidak meningkat. Dalam tahun pertama, penjualan Coca Cola hanya laku sekitar 50 dolar AS. Sementara itu, Pemberton sudah bertekad jika ramuannya ini harus dapat tersebar luas dan dapat dinikmati oleh semua orang di seluruh dunia.

Setelah satu tahun memperjuangkan ciptaanya, Pemberton baru menyadari bahwa ia hanyalah seorang penemu. Kemudian, ia berpikir untuk menjual ramuan ini pada orang yang tepat yang dapat mengembangkannya sesuai impiannya. Kemudian ia mendatangi Asa Candler, seorang anak pedagang terkenal dari Atlanta, yang dikenalnya secara baik. Ia menjual hak paten pembuatan minuman Coca Cola dengan harga 2.300 dolar AS.
Setelah mendapatkan ramuan itu, Asa Candler mencoba mengolah hasil temuan Pemberton. Setelah berhasil, Candler menyimpannya pada wadah yang menarik agar dapat mengundang pembeli, yaitu guci berlogo Coca Cola. Tak hanya itu, Candler juga memasang spanduk bertuliskan “Menjual Minuman Coca Cola” di depan toko obat dr. Joseph Pharmacy. Hanya dalam hitungan jam minuman tersebut laku terjual. Tahun 1889 Asa Candler melalui toko Joseph Jacob’s Pharmacy menjual Coca Cola untuk pertama kalinya.

Tahun 1892, Candler memutuskan untuk membentuk The Coca Cola Company bersama relasinya di Georgia Atlanta. Setahun kemudain, 1893 Candler mematenkan Coca Cola sebagai merek dagang. Coca Cola sesungguhnya bukan minuman ringan pertama di Amerika, tetapi ketika sudah mendapat paten Coca Cola menjadi minuman utama yang dijual di Soda Fountain, toko minuman ringan, es krim, dan sebagainya.

Dr. John Stith Pemberton meninggal tahun 1888, pada usia 58 tahun, tidak lama setelah menjual ramuannya. Kini, hasil temuannya masih dinikmati oleh masyarakat di dunia. Coca Cola sekarang menjadi satu lambang budaya Amerika Serikat.

Read More